作业: 复分析 01

2026-09-20 复分析作业
数学复分析作业

Chapter 1

Problem 1

(Euler 等式) 利用复数的性质证明 Euler 的等式

Proof

, .

.

同时, 故.

Problem 2

(常用不等式) 给定复数 , 满足 . 证明:

Proof

因此

同时, .

因此

Problem 4

(恒等式) 给定两个复数 , 证明恒等式

并说明等式的几何意义.

Proof

Problem 6

(复数的矩阵表示) 定义 矩阵

其中 . 这类矩阵的集合记为 .

  1. 证明

  2. 计算 , 由此说明

  3. 证明: 对应

    给出了 与 之间的同构.

Proof

构造. 易知是双射.

因此是与之间的同构.

因此, , , .

Problem 7

( 没有域结构) 向量空间 的一组基为

证明 上不存在同时满足下列性质的乘法“”;

  1. (单位元) 对任意 ,
  2. (交换性) ，对任意 ,
  3. (长度可乘性) , 对任意 .

按照如下思路给出详细过程: 反证, 假设乘法存在, 则

  1. 通过计算

    证明

  2. 证明

    由此得出矛盾.

Proof

假设存在满足题设条件的乘法. 记,

同时, ,

得, , . 因此. 同理.

同时, . 矛盾. 故不存在域结构.

Chapter 2

Problem 1

(平行四边形的特征) 证明平面上四个点 依次为平行四边形的四个顶点的充要条件是

Proof

由于复数的加法在几何上遵循平行四边形法则

整理得.

Problem 5

(三点共线) 证明三点 共线的充要条件是

Proof

若共线, 则存在. 因此

因此该条件等价于. 另一方面, 若, 则有

因此. 两者互为充要条件.

Problem 7

(三角恒等式)证明

提示: 考虑方程 的 个非零根的乘积.

Proof

考虑非零根的乘积可得, 即

同时,

因此.

Problem 11

(复数的几何性质) 给定 个复数 ，其模长都不超过 。证明：存在, 满足.

Proof

考虑归纳法. 当时显然成立. 当时,

因此必有一者模长小于. 若对于成立, 考虑 的情况. 中必有两项所在的直线夹角小于, 因此和必有一项小于. 将这和合并就归结到了的情况. 由归纳法得命题成立.

Extra

Problem 1

证明复平面上圆和直线的方程可统一表示为

其中 , , 且

当 时, 它是直线方程; 当 时, 它是圆方程.

Proof

当且时, 记, , 则有

等价于直线方程. 当且时, 取, ,

因此该方程为圆方程.

Problem 2

对任意 , 定义

线性空间 上是否存在乘法“”, 满足

  1. , 对任意 :
  2. ?

Proof

取, . 记, 则

相减得到. 由于, 矛盾. 即不存在满足条件的乘法.