作业: 复分析 02

2026-09-28 复分析作业
数学复分析作业

Chapter 2

Problem 12

(复数的几何性质)单位圆周上正边形的顶点依次为. 为单位圆周上一点, 记为线段长度. 证明

Proof

  1. , 则分别为. 记对应的复数为, 有.

    当且仅当时取到.

Chapter 3

Problem 2

(对径点)证明复数的球面表示是球面的对径点的充要条件是.

Proof

记, 则. 因此等价于, . 另一方面, 若, 则有

因此等价于, .

Problem 3

(对称点)证明球面表示关于平面对称.

Proof

记, 则. 因此

关于平面对称.

Extra

Problem 1

证明集合是闭集的充分必要条件是包含其所有的极限点.

Proof

若是闭集. 若是其极限点, 则对任意, 交集.

记, 取. 若已有, 记, 取. 由此得到了中的点列. , 因此, 是柯西列. 而闭集中包含其中任意柯西列的极限, 故


若包含其所有的极限点. 对于任意柯西列, 记其在中的极限为. 对任意的, 都存在: , 即. 因此是的极限点, . 包含其任意柯西列的极限, 因此是闭集.

Problem 2

证明是中点集的孤立点的充分必要条件是存在, 使得

Proof

是孤立点等价于. 即, . 而是中的点, .

Problem 3

证明中任意有界无穷点列必有收敛子列.

Proof

是中的有界无穷点列满足. 记, 有, . 是中的有界无穷点列, 因此其必有收敛子列, . 而对于有界无穷点列, 存在收敛子列, . 因此

即的子列收敛到.

Problem 4

对任意集合, 证明.

Proof

, 因此. 由于, 对于任意的, 存在:

若, 则取. 若, 有, 取. 满足. 同理, 可以取到满足.

由于是任意的, 使, 可得. 综上, .

Problem 5

设, . 证明在适当取幅角主值时以下两个极限成立:

Proof

对任意的, 存在, 对任意的, . 因此. 即.

记, , 考虑, . 则有, . 同时且, 可得.

Problem 6

设为任意开集, 证明可分为有限或一列互不相交的联通开集的并.

Proof

构造关系当且仅当与可以用中的折线连接. 由此得到了等价类满足

由于是开集, . 同时, . 因此, 即是开集.

由于, 因此其必包含一个有理点. 而有理点是可数的, 因此是可数集, 即为满足题意的划分.

Problem 7

设是连通集, 是定义在上的函数. 若对, 存在使得在上为常数. 证明在上为常数.

Proof

若, 显然成立. 若, 取, 构造

显然有 且. 下证且. 若, 则. 因此:

因此. 同时, 即. 这与矛盾. 同理可以证明. 而连通集被分解为非空集合的不交并必定满足或. 因此必定有, . 即在上等于常值.