作业: 数值线性代数 01

2026-09-20 数值代数作业
数学数值线性代数作业

Chapter 1

Problem 1

设向量的 -范数定义为

  1. 举反例说明当 时, 式中定义的 不是范数.

  2. 证明以下两个极限:

Proof

  1. , , 则, . 不满足三角不等式.

  2. 记,

Problem 2

证明式 (1.2) 中向量 -范数、-范数以及 -范数之间的关系.

Proof

由 Cauchy-Schwarz 不等式,

同时, . 因此


由于,


由于,

Problem 3

设 为定义在 上的向量范数. 证明: 对任意给定的列满秩矩阵 ,

定义了 上的一个向量范数. 这里 为列满秩的条件是不是必须的?

Proof

正定性: . 若, . 是范数, 因此. 列满秩, 故.

绝对齐次性: .

三角不等式: .


Problem 4

证明矩阵的 Frobenius 范数满足

Proof

, ,

, 则有.

Problem 5

设 , 证明

Proof

当与同向时, . 因此.