作业: 数值线性代数 02

Problem 11

举例说明通过向量范数定义的矩阵范数

并不相容, 即不满足.

Proof

考虑, 则. 则有, .

Problem 14

考虑矩阵空间上的某个范数. 如果对任意的正交矩阵以及有

称为酉不变范数. 本节讨论过的几类范数, , 以及中哪些是酉不变范数?

Proof

考虑取,

有.
正交矩阵在范数下有, 因此
取,

有.

Problem 15

设为正交矩阵. 证明. 若满足且, 那么是否一定是正交矩阵?

Proof

因此.

若且, 不一定是正交矩阵. 考虑,

但不是正交矩阵.

Problem 18

设为对称矩阵, 证明.

Proof

实对称矩阵可对角化, 因此存在正交矩阵和对角矩阵, 使得.

记 ,

当时可以取得. 因此.

Problem 19

若为相容矩阵范数, 证明对任意方阵, .
给定方阵, 证明对任意, 存在算子范数, 使得.

Proof

若, 假设, 则. 由于该矩阵范数是相容的,

记. 构造矩阵列, 有

因此是柯西列, 其在完备度量空间中有极限.

即是可逆矩阵, 这与是的特征值矛盾.
考虑的 Jordan 标准型

对任意的, , 则

取, 则有

由 Problem 1.5, 诱导了一个上的一个向量范数

考虑由诱导的矩阵算子范数

Problem 29

已知函数的 Taylor 展式为

若用 Taylor 展式的第一项近似，即

那么在处的（相对）向前和向后误差分别是多少？
若用 Taylor 展式的前两项近似，即

那么在处的（相对）向前和向后误差分别是多少？

Proof

, . 向前误差,
, . 向前误差,

Problem 31

编程验证当很小的时候计算, 用公式比直接用原公式精度更高. 这说明大小类似的两个浮点数的减法并不总是有害的，有些情况下如果能够有效利用反而是有益的, 称为良性相消 (benign cancellation).

Proof

import math

f1 = lambda x: math.log(1 + x) / x
f2 = lambda x: math.log(1 + x) / ((1 + x) - 1)

print(f"f1(1e-5) = {f1(1e-5)-1}\tf1(1e-10) = {f1(1e-10)-1}\tf1(1e-15) = {f1(1e-15)-1}")
print(f"f2(1e-5) = {f2(1e-5)-1}\tf2(1e-10) = {f2(1e-10)-1}\tf2(1e-15) = {f2(1e-15)-1}")

输出:

f1(1e-5) = -4.99996011593673e-06        f1(1e-10) = 8.269037099495335e-08       f1(1e-15) = 0.11022302462515587
f2(1e-5) = -4.999966667029732e-06       f2(1e-10) = -5.000000413701855e-11      f2(1e-15) = -5.551115123125783e-16

Chapter 1