Problem 1
在函数空间上定义内积
验证三角函数系在此内积空间下的正交性, 即验证
对于的情况, 计算下列积分:
Proof
Problem 2
在函数空间上定义
-
证明: 是上的一个度量.
-
证明: 度量空间不完备.
Proof
-
显然. 若, 则, 即. 因此.
.
.
-
构造函数列
对于任意的, 取, 则当时,
因此是 Cauchy 列. 同时, 取
有
而, 因此度量空间不完备.
Problem 3
设是以为周期的函数, 且存在, 使得满足阶利普希茨条件:
其中为常数. 证明的傅里叶三角级数存在, 且有
Proof
连续, 因此在上可积, 傅里叶三角级数存在.
将两项相加, 有
因此有, 即. 同理, .
Problem 4
设是周期为的连续函数且
设是上的连续可微函数, 令
证明: 级数收敛.
Proof
, 则
而, 因此. 若在上的上界为, 则对任意的, 存在:
因此
因此级数收敛.
Problem 5
将下列函数在上展开成 Fourier 级数:
-
;
-
.
Proof
-
是偶函数, 因此.
积分得
-
是偶函数, 因此. .
因此.
Problem 6
将下列函数展开为正弦级数:
Proof
将奇延拓到, 则
因此
Problem 7
将下列函数展开成余弦级数:
Proof
将偶延拓到, 则
对于时,
因此
Problem 8
设在上可积或绝对可积, 证明:
-
若对于任意, 成立, 则;
-
若对于任意, 成立, 则.
Proof
-
.
同理, .
-
.
同理, .
Problem 9
设在上可积或绝对可积, 应分别对它进行怎么样的延拓, 才能使它在上的 Fourier 级数的形式为
-
;
-
.
Proof
-
先对其做偶延拓到, 使正弦项消失. 然后按的方式延拓. 由 Problem 8, 只会留下带有的项. 即
-
先对其做奇延拓到, 然后按延拓.
Problem 10
设在上连续且单调, , 证明
Proof
, 有
由条件, 的正负性在上不变. 若, 在上单调下降.
而且, 由 Leibniz 判别法，收敛且
因此
若, 则由且其单调连续趋于可得
Problem 11
设函数在上单调, 证明
Proof
因此等价于证明: 若上的单调函数满足, 则.
在上黎曼可积, 由 Reimann-Lebesgue 引理, . 而由积分第二中值定理,
因此
由于使任意的, 使, 则由. 因此.