模考 —— 抽象函数

充分性:

【求导证明是极大值点】

若, 则. 此时

又严格减, 所以当时, ; 当时, . 同时. 因此是的最大值点.

于是对任意, . 所以仅在时成立, 即.

必要性:

等价于证明.

【先证明经过, 即】

先证. 若, 取. 因为, 故. 又是连续函数, 由零点存在定理, 在内存在, 使得. 于是, 且, 与矛盾. 故.

【接下来证明的斜率也与切线相同, 即】

由, 对任意均有. 所以是的最大值点. 又在处可导, 因此.

综上, 是在处的切线, 即.

【先找出一点满足】

假设存在, 使.

若, 取, 严格减, 因此.

故存在, 使.

【证明】

设在处的切线为

令. 则, 且

由于严格减, 当时, 当时. 故, 即

【证明存在点满足】

又, 所以是斜率为正的一次函数. 取

则且. 于是

与题设时矛盾.

因此对任意, 都有, 所以在上严格减.

必要性: 若单调, 则在之间, 所以

充分性:

【先证明, 的情况】

假设不单调. 若存在满足, .

【用中点条件构造闭区间套】

取, 使

令. 若已有区间, 考虑中点. 由 且, 得,

取

这样每一个都满足了

且区间长度每次减半

【使用压缩函数的条件推出矛盾】

设. 由压缩函数条件,

所以

而, 只需取正整数即可推出矛盾.

【证明, 的情况】

若存在满足, . 令, 也是压缩函数且对任意, 均有. 而. 由上一种情况, 这是矛盾的.

因此为单调函数.

必要性:

任取且. 令, 有

整理即可得.

充分性:

【处理中点条件】

任取正有理数. 对任意的, 有

即

因此, 令, 数列是严格递增的.

【构造符合要求的步长, 通过累加法证明】

是正有理数, 对任意的且, 要证.

设 , , . 取, 则有. 因此,

因此对任意正有理数, 在上严格增.

必要性:

若为偶函数. 任取, 对任意,

因此与互为对称集.

充分性:

对任意的, 与互为对称集. 因此和必定同时成立或不成立. 由定义,

又与不可能同时不成立, 因此二者同时成立, 故. 即为偶函数.